الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $50$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 5 - λ & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} - 1 & 11 - λ \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) | \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 11 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) ((11 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

وسّع $(11 - λ) (1 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 \cdot 1 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.1

اضرب $11$ في $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 + 11 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 11 λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

اطرح $λ$ من $- 11 λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (11 - 12 λ + λ^{2} - 1) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.2

اطرح $1$ من $11$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (- 12 λ + λ^{2} + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.3

أعِد ترتيب $- 12 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- (1 - λ) + 0 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 \cdot 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 - - λ + 0 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- - λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + 1 λ + 0 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.3.2

اضرب $λ$ في $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0 \cdot 1) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $0$ في $1$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ + 0) + 0$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $- 1 + λ$ و $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (- 1 + λ) + 0$

خطوة 1.5.4.2.3

أعِد ترتيب $- 1$ و $λ$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1) + 0$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أضف $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$ و $0$ .

$p (λ) = (- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10) - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1

وسّع $(- 5 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 10)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = - 5 λ^{2} - 5 (- 12 λ) - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.1

اضرب $- 12$ في $- 5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 5 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.2

اضرب $- 5$ في $10$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.6

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 10 - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.2.7

اضرب $10$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} + 12 λ^{2} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.3

أضف $- 5 λ^{2}$ و $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 60 λ - 50 - λ^{3} - 10 λ - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.4

اطرح $10 λ$ من $60 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 (λ - 1)$

خطوة 1.5.5.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ - 50 \cdot - 1$

خطوة 1.5.5.2.6

اضرب $- 50$ في $- 1$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$

خطوة 1.5.5.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $7 λ^{2} + 50 λ - 50 - λ^{3} - 50 λ + 50$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.1

اطرح $50 λ$ من $50 λ$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 0 + 50$

خطوة 1.5.5.3.2

أضف $7 λ^{2} - 50 - λ^{3}$ و $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - 50 - λ^{3} + 50$

خطوة 1.5.5.3.3

أضف $- 50$ و $50$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3} + 0$

خطوة 1.5.5.3.4

أضف $7 λ^{2} - λ^{3}$ و $0$ .

$p (λ) = 7 λ^{2} - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.4

أعِد ترتيب $7 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 7 λ^{2}$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 7 λ^{2} = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أخرِج العامل $- λ^{2}$ من $- λ^{3} + 7 λ^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أخرِج العامل $- λ^{2}$ من $- λ^{3}$ .

$- λ^{2} λ + 7 λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.1.2

أخرِج العامل $- λ^{2}$ من $7 λ^{2}$ .

$- λ^{2} λ - λ^{2} \cdot - 7 = 0$

خطوة 1.7.1.3

أخرِج العامل $- λ^{2}$ من $- λ^{2} (λ) - λ^{2} (- 7)$ .

$- λ^{2} (λ - 7) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 7 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ^{2} = 0$

خطوة 1.7.3.2

أوجِد قيمة $λ$ في $λ^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.7.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.7.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$λ = \pm 0$

خطوة 1.7.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$λ = 0$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $λ - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $λ - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 7 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 7$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- λ^{2} (λ - 7) = 0$ صحيحة.

$λ = 0, 7$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $0$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 5 + 0 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أضف $- 5$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.2

أضف $50$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.4

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.5

أضف $11$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.7

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.8

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.9

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 50 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 11 - 10 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 10 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 10 z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 z \\ - z \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- 7$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $- 7$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $- 7$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - 5 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} - 5 - 7 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اطرح $7$ من $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $50$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 + 0 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 11 - 7 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

اطرح $7$ من $11$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 1 - 7 \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

اطرح $7$ من $1$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 6 \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 12 & 50 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{12}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot 50 & - \frac{1}{12} \cdot 0 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 4 - \frac{25}{6} & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{6} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 6$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 (- \frac{1}{6}) & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 6 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{6} \cdot 0 & - \frac{25}{6} + \frac{25}{6} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{6} \cdot - 6 & 0 + \frac{25}{6} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 25 & 0 \\ 0 & 1 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 25 z = 0$

$y - 6 z = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 z \\ 6 z \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 10 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 25 \\ 6 \\ 1 \end{array}]}$